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Chapter 5- सांतत्य तथा अवकलनीयता (Continuity and Differentiability) Ex-5.8 Interview Questions Answers

Question 1 : फलन f(x) = x² + 2x – 8, x∈[-4,2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

Answer 1 :


Question 2 :
जाँच कीजिए कि रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है? इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) f(x) = [x] के लिए x∈[5,9]
(ii) f(x) = [x] के लिए x∈[-2,2]
(ii) f(x) = x² – 1 के लिए x∈[1,2]

Answer 2 :

(i) f(x) = [x] के लिए x[5, 9]
f(x) = [x],
बिन्दु x = 6, 7, 8 पर तो संतत है तथा ही अवकलनीय है।
यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।
(ii) f(x) = [x], x
[-2, 2]
f(x) = [x],
बिन्दु x = -1, 0, 1 पर तो संतत है तथा ही अवकलनीय है।
यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।
(iii) f(x) = (x² – 1), x
[1, 2] के लिए
f(1) = 1 – 1 = 0,
f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3
f(1) ≠ f(2)
चूँकि f, [1, 2] में संतत है तथा फलन (1, 2) अवकलनीय भी है परन्तु f(1) ≠ f(2).
यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।

Question 3 : यदि f :[-5, 5]→ R एक संतत फलन है और यदि f ‘ (x) किसी भी बिन्दु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि f(- 5) ≠ f(5).

Answer 3 :

दिया है, f:[-5, 5]→ R
f
संतत है तथा अवकलनीय है लेकिन f” (x) ≠ 0
अन्तराल (-5, 5) में रोले प्रमेय के लिए आवश्यक है
(i) [a, b]
में f संतत है।
(ii) (a, b)
में f अवकलित होता है।
(iii) f(a) = f(b)
f ‘(c) = 0 c
(a, b)
f ‘(c) ≠ 0
f(a) ≠ f(b)
f(- 5) ≠ f(5)
इति सिद्धम्

Question 4 : माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x² – 4x – 3, जहाँ a = 1 और  b = 4 है।

Answer 4 : दिया है, (x) = x² – 4x – 3,[1,4] अन्तराल के लिए f एक बहुपदीय व्यंजक है। यह 1,4 में संतत तथा (1, 4) में अवकलनीय दोनों है।

Question 5 : माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x³ – 5x² – 3x, जहाँ a = 1 और b = 3 है। f ‘(c) = 0 के लिए c(1, 3) को ज्ञात कीजिए।

Answer 5 : दिया है, f(x) = x³ – 5x² – 3x
[1, 3]
में f संतत है और (1, 3) में अवकलनीय है क्योकि यह बहुपदीय है।

Question 6 : प्रश्न संख्या 2 में उपर्युक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।

Answer 6 : (i) f(x) = [x],
x
[5,9]
दिये हुए अन्तराल (5, 9) में f(x) = [x] बिन्दु x = 6, 7, 8 पर तो संतत है तथा ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(ii)
f(x) =[x], x
[-2, 2 ]
दिये हुए अन्तराल [-2, 2] में f बिन्दु x = -1, 0, 1 पर तो संतत है तथा ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(iii) f(x) = x² – 1, x
[1, 2]
यह एक बहुपदीय फलन है। यह अन्तराल [1,2] में संतत है तथा (1, 2) में अवकलनीय है।


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Chapter 5- सांतत्य तथा अवकलनीयता (Continuity and Differentiability) Ex-5.8 Contributors

krishan

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